sistemas de primer orden con realimentación positiva

sistemas de primer orden con realimentación negativa

crecimiento en S

sistemas de primer orden sin oscilaciones

Sistemas dinámicos de primer orden

 Este tipo de sistemas dinámico posee un único nivel en su estructura y además pueden estar formados por bucles de realimentación positiva o por bucles de realimentación negativa.

Sistemas de primer orden con realimentación positiva

 relaciona  a fenómenos de crecimiento, con comportamiento explosivo, el caso de un crecimiento desmedido en la población, es un ejemplo de un sistema de primer orden.

Sistemas de primer orden con realimentación negativa.

Estos sistemas se caracterizan por tener un comportamiento determinado por un objetivo. Los sistemas de realimentación negativa también son llamados sistemas autorreguladores y homeostáticos. En su comportamiento esta implícito la definición de un objetivo, el cual se determina externamente, por lo tanto, es una variable exógena. El nivel es el objeto de control que representa la acumulación de todas las acciones pasadas, además este solo puede ser variado por medio del flujo. En la figura 1.21, se muestra un diagrama causal de la regulación de una variable de nivel con relación de un objetivo.

Figura 1.21  Diagrama causal de un sistema de primer  Orden  con  realimentación negativa.

 A continuación en la figura 1.22, se observa el diagrama de Forrester correspondiente al diagrama causal anterior, el cual requiere para su construcción, el empleo de un nivel, un flujo y una variable auxiliar.    

 Figura 1.22  Diagrama   de   Forrester   de   un   sistema de Primer   orden   con    realimentación negativa.

Crecimiento en S 

Este tipo de crecimiento se caracteriza por tener en su régimen transitorio dos fases, una de ellas en crecimiento exponencial y la otra en decrecimiento asintótico. La realimentación positiva que genera el crecimiento exponenecial, se estrecha por la realimentación negativa, que conduce a la estabilizacion del crecimiento. Esto es que todo proceso exponenecial pasa por un proceso estabilizador que limita el crecimiento. Lo anterior indica que el crecimiento exponencial sostenido no existe en el mundo real.    

El crecimiento en S se encuentra ampliamente en la realidad, por ejemplo, en estudios ecológicos, áreas sociales, la urbanización de cierta área, los rumores, epidemias, el crecimiento celular de una planta, la saturación del mercado, la religión, la difusión de una moda, incluso el desarrollo físico y mental de un niño mustran un crecimiento en S.

 La representación de un comportamiento en S la podemos ver en  el siguiente ejemplo dinámico en el que se trata de estudiar como una población sana pasa a formar parte de una población enferma, para ello  se consideran las siguientes

hipótesis[1]:

1.   La población es constante, es decir no se producen fenómenos migratorios.

2.   La enfermedad es lo suficientemente suave como para que los enfermos no dejen de hacer vida normal, y éstos no se curan completamente durante el período de la epidemia; con ello se evita la re infección.

3.   La población enferma y la sana se encuentran homogéneamente mezcladas.

4. Ejecutar el modelo 30 días

El diagrama causal que representa a esta situación se presenta en la figura 1.24 y el diagrama de Forrester en la figura 1.25, cada comportamiento  de las variables más críticas se presentan en las gráficas

Figura 1.24 Diagrama causal complejo de los efectos de una epidemia

Fig 1.25  Diagrama de Forrester  de los efectos de una epidemia

Gráfica 1.1 Comportamiento gráfico de las variables  más críticas

El estudio de la estructura de un crecimiento en S se basa en considerar que durante un tiempo el comportamiento es similar al de un sistema de realimentacion positiva, pasando despues a un segundo periodo que es analogo a un sistema de realimentación negativa, es decir que el cambio en el dominio de la curva produce el crecimiento en S; como se muestra en la figura 1.26 , donde un diagrama causal esta formado por un bucle 1 de realimentacion positiva y un bucle 2 de realimentacion negativa.    

Figura 1.26  Diagrama causal del crecimiento en S

Un gran incremento en la curva positiva conduce a una curva negativa, la curva negativa no aparece espontáneamente, al contrario se encuentra presente en todo el momento, pero su efecto depende de la influencia de una variable en la curva positiva. Cuando la curva positiva empieza a aumentar a todas las variables envueltas en el ciclo, la curva negativa también aumenta hasta que el dominio cambia y se forma la curva negativa, como se muestra en la figura 1.27.    

 Figura 1.27  Cambio en el dominio de la curva

En la figura 1.27, se muestra el diagrama Forrester que corresponde al diagrama causal de la figura 1.28, donde se observa que el comportamiento del sistema depende de que constante de tiempo sea la dominante.

Figura 1.28.  Diagrama causal del crecimiento en S

La evolución que sufre el Nivel en el tiempo depende de los valores relativos de las constantes K1 y K2, como se observa en la figura 1.29.

           K1< K2                                 K1 = K2                                                  K1>K2           

         Exponencial                              Creciente                               Asintótica

Figura 1.29  Evolución del nivel dependiendo de las constantes K1 y K2

Sistemas de primer orden sin oscilaciones

 Los sistemas de primer orden no presentan oscilaciones, ya que este tipo de sistemas solo cuenta con un nivel en su estructura, esto es que si el nivel con el que cuentan llega a un punto de equilibrio temporal difícilmente podrá salir de él. Para salir de esta situación es necesario que el flujo de salida del nivel dependiese de alguna otra variable que evolucione con el tiempo, lo que nos lleva a concluir que para que se produzcan oscilaciones se necesitan dos o más niveles; característica de los sistemas de segundo orden.

 Cuando se pregunta que tipo de comportamiento presenta la población de conejos en la figura 1.30. El error más común es pensar que el crecimiento se eleva mas allá de la capacidad de carga del ambiente (recurso limitado) hasta que se establece el equilibrio. El análisis del modelo demuestra que es imposible que llegue mas allá de la capacidad de carga. Solo puede darse el crecimiento en S.

Figura 1.30  Dinámica de la población de conejos

Esto sucede, ya que en el incremento inicial, los nacimientos exceden a las muertes y la población de conejos crece. Mientras que se utilizan el espacio y los recursos limitados, la densidad de la población llega a ser  significativa, y las muertes se acercan gradualmente a los nacimientos. Así, la población de conejos crece cada vez más. Si sé esta llegando más allá de la capacidad de carga, entonces los nacimientos y las muertes deben ser iguales momentáneamente. Sin embargo, si la población de conejos esta en equilibrio temporal, nada puede moverlo del equilibrio. Los dos únicos flujos del nivel, los nacimientos y las muertes varían solamente sí la población varia. El resto de los términos en las ecuaciones de los índices son constantes. Por otra parte, el nivel de la población de conejos puede cambiar solamente si los flujos son iguales, pero cuando estos flujos son iguales nada puede alterar el valor del nivel. Así mismo, nada puede alterar el valor de los dos flujos del sistema. Debido a que el balance no puede ser quitado, el sistema esta bloqueado en el equilibrio. Entonces el sistema despliega el crecimiento en S, como se muestra en la figura 1.31.

Figura 1.31  Comportamiento de la población de conejos